Sistema de ecuaciones
De Ejercicios
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Enunciado
Se quiere resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas mediante el método de Gauss. Dicho método consiste en triangular la matriz de coeficientes.
Análisis
Para ello vamos a obtener un sistema equivalente en el que la primera ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación , que tendrá solo una incógnita. Hecho esto, resolveremos la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera.
Soluciones
Diseño en Pseudocódigo por lperez
PROCEDIMIENTO Ceros(VAR a,nf,nc)
ENTRADAS: a: ARRAY [1..nf,1..nc] DE REALES, representa la matriz
ampliada de un sistema de ecuaciones (coeficientes y términos
independientes)
nf,nc: ENTERO, número de filas y de columnas de a (nc=nf+1, nf=nº
ecuaciones)
SALIDAS: a, la misma matriz de entrada pero triangulada.
VARIABLES: i,j,k: ENTERO; p1,p2:REAL.
INICIO
PARA i=1 HASTA nf-1
PARA k=i+1 HASTA nf
p1<--a(i,i)
p2<--a(k,i)
PARA j=i HASTA nc
a(k,j)<--a(k,j)*p1-a(i,j)*p2
FIN_PARA
FIN_PARA
FIN_PARA
FIN
*******************************
PROCEDIMIENTO Resuelve(a, nf, nc, VAR b, VAR t)
ENTRADAS: a: ARRAY [1..nf,1..nc] DE REALES, representa la matriz
ampliada de un sistema de ecuaciones (coeficientes y términos
independientes)
nf,nc: ENTERO, número de filas y de columnas de a (nc=nf+1, nf=nº
ecuaciones)
SALIDAS: b: ARRAY [1..t] DE REALES, matriz con los resultados de resolver el
sistema
t:ENTERO, nº de soluciones= tamaño de b (0 si no tiene solución)
VARIABLES: suma:REAL; i,j:ENTERO.
INICIO
SI a(nf,nc-1)=0 (*sistema sin solución*)
ENTONCES
t<--0
SI NO
PARA i=nf HASTA 1 CON DECREMENTO DE 1
suma<--0
PARA j=i+1 HASTA nf
suma<--suma+a(i,j)*b(j);
FIN_PARA
b(i)<--(a(i,nc)-suma)/a(i,i)
FIN_PARA
t<--nf
FIN_SI
FIN
*************************************************
ALGORITMO Gauss
ENTRADAS: e: ARRAY [1..filas,1..columnas] DE REALES, matriz ampliada, continene
los coeficientes y los términos independientes de un sistema de
ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas.
filas: ENTERO, nº de filas de e = nº de ecuaciones=nº de incógnitas
(el número de columnas de e va a ser filas+1), filas>0
incog: ARRAY [1..filas] DE CARACTERES, va a contener los nombres
de las incógnitas.
SALIDAS: sol: ARRAY [1..filas] DE REALES, las soluciones del sistema, si las hay.
VARIABLES: columnas, i,j,tam:ENTERO;
INICIO
LEER filas
columnas<--filas+1
PARA i=1 HASTA filas HACER
PARA j=1 HASTA columnas HACER
LEER e(i,j)
FIN_PARA
FIN_PARA
PARA i=1 HASTA filas HACER
LEER incog(i)
FIN_PARA
Ceros(e,filas,columnas)
Resuelve(e,filas,columnas,sol,tam)
SI tam=0
ENTONCES
ESCRIBIR “El sistema es indeterminado”
SI NO
PARA i=1 HASTA tam HACER
ESCRIBIR incog(i), “=”,sol(i)
FIN_PARA
FIN_SI
FIN
Programa en Pascal por lperez
program Gauss;
{ENTRADAS: e: una matriz que contine los coeficientes y t‚rminos independientes
de un sistema de ecuaciones lineales(con el mismo número de
ecuaciones que de incógnitas)(la matriz tendrá una columna más
que filas ya que es la matiz ampliada con los términos independientes)
filas: número de ecuaciones del sistema, filas>0 .
incog: contiene los nombres de las incógnitas.
SALIDAS: sol: contendrá las soluciones del sistema}
uses crt;
type matriz=array[1..10,1..10] of real;
matriz2=array[1..10]of real;
(******************************)
procedure ceros (var a:matriz;nf,nc:integer);
{ENTRADAS: a matriz ampliada de los coeficientes y términos independientes
nf: número de filas
nc: número de columnas
SALIDAS: a, la misma matriz de entrada pero triangulada }
var i,j,k:integer;p1,p2:real;
begin
for i:=1 to nf-1 do
begin
for k:=i+1 to nf do
begin
p1:=a[i,i];
p2:=a[k,i];
for j:=i to nc do
a[k,j]:=a[k,j]*p1-a[i,j]*p2;
end;
end;
end;
(*************************************************)
procedure resuelve(var a:matriz;nf,nc:integer;var b:matriz2;var t:integer);
{ENTRADAS: a, matriz ampliada de los coeficientes y términos independientes
nf: número de filas
nc: número de columnas
SALIDAS: b, contiene los resultados para cada incógnita
t, devuelve el número de soluciones y 0 si el sistema no tiene
solución}
var suma:real;i,j:integer;
begin
if a[nf,nc-1]=0 {sistema sin solucion}
then t:=0
else
begin
for i:=nf downto 1 do
begin
suma:=0;
for j:=i+1 to nf do
suma:=suma+a[i,j]*b[j];
b[i]:=(a[i,nc]-suma)/a[i,i];
end;
t:=nf;
end;
end;
(**********************************************)
var e:matriz;
filas,columnas,i,j,tam:integer;
sol:matriz2;
incog:array[1..10]of char;
begin
clrscr;
writeln('Numero de ecuaciones (= inc¢gnitas): ');
read(filas);
columnas:=filas+1;
writeln('Introduce la matriz ampliada');
for i:=1 to filas do
for j:=1 to columnas do
begin
write('Elemento (',i,',',j,') ');
readln(e[i,j]);
end;
writeln('Introduce los nombres de las inc¢gnitas');
for i:=1 to filas do
begin
write('Inc¢gnita ',i, ':');
readln(incog[i]);
end;
ceros(e,filas,columnas);
resuelve(e,filas,columnas,sol,tam);
if tam=0
then
writeln('El sistema es indeterminado')
else
for i:=1 to tam do
writeln(incog[i],'=',sol[i]:4:2);
writeln('Pulsa enter para acabar');
repeat until keypressed;
end.
Comentario
En el programa en Pascal el tamaño de los arrays utilizados se ha de especificar por lo que tiene un límite superior que es de matrices de 10x10.
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